El acertijo de los ojos celestesAdrián Paenza es licenciado y doctor en ciencias matemáticas egresado de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires y periodista deportivo.

Es un “maestro” en mostrar desarrollos científicos por medio de acertijos y cuentos para pensar. Este es uno de ellos.

Ojos Celestes en la Isla

La vida cotidiana nos pone ante situaciones en donde hay que decidir. Decidir rápido, decidir racionalmente, decidir con pasión, decidir pensando en el futuro, decidir sobre si tener un hijo, si casarnos, si comprar este departamento, si seguir esta carrera. Podría seguir, obviamente, pero estoy seguro de que la lista suya tomaría por distintas direcciones. El hecho es que uno está constantemente expuesto a decidir.

Pero para tomar decisiones elaboradas, educadas, racionales, hace falta tener datos. Y, si fuera posible, la mayor cantidad de datos. Hasta para patear un penal hacen falta datos. ¿Qué sabe mi interlocutor sobre mí que yo no sé que él sabe? ¿Qué sé yo sobre él que él no sabe que yo sé? ¿Cómo usar esa información en beneficio propio?

La matemática, aunque no parezca, ofrece herramientas para tratar estos temas. No son infalibles ni categóricas (en general), pero le dan claramente una ventaja al “otro” si él las tiene y yo no. Y ni hablar si yo las conozco y ese “otro” no.

A lo que me refiero es a lo que se llama “conocimiento común”. Ya verá de qué estoy hablando. Lo voy a hacer con un ejemplo muy divulgado y muy útil. Hay múltiples variantes de lo que se conoce con el nombre de “Ojos Celestes en la Isla”. (1) Acá es donde quiero hacer una breve advertencia: lo que sigue es un maravilloso juego de lógica. No hace falta “saber” nada. No hace falta haber “estudiado” nada. No hace falta más que la capacidad para razonar que viene incluida en el software que trae nuestro cerebro. La/lo invito a usarlo. Verá que vale la pena. Si no se le ocurre la respuesta ahora, no tiene importancia. Mantenga con usted mismo una discusión interna. Téngase paciencia.

Todo lo que sigue es –obviamente– ficticio. Se trata de una situación ideal, producto de la imaginación. Eso sí: lea las “reglas” con cuidado porque son importantes para decidir qué hay que contestar.

Acá va: en una isla hay 100 habitantes (2). Todos ellos tienen o bien ojos celestes o bien ojos marrones. Todos ven el color de los otros, pero no el color propio. Está prohibido hablar entre ellos de ese tema. No hay espejos ni trampas posibles. Eso sí: hay una ley en la isla que establece que si alguien “descubre” que tiene ojos celestes, tiene que abandonar la isla inexorablemente a las 8 de la mañana del día siguiente. Todos los pobladores tienen la misma capacidad para razonar y todos son capaces de usar una lógica impecable. (3)

Un día, una persona llega de visita a la isla y, mientras, los mira a todos, dice: “¡Qué bueno es ver al menos una persona con ojos celestes después de tanto tiempo de estar en alta mar!”

Ahora le toca pensar a usted: ¿Qué consecuencias trajo esta frase entre los habitantes de la isla? Es decir, una vez que los pobladores escucharon al visitante decir que había al menos uno de ellos que tenía ojos celestes, ¿qué cree usted que pasó después?

Solución

¿Qué pudo haber pasado? Veamos: por lo que dijo el visitante, por lo menos una de las personas que están en la isla tiene ojos celestes. ¿Qué pasaría si hubiera “exactamente” uno solo? (no siga leyendo… piense usted ¿qué le pasaría a esta persona?) Sigo yo: esta persona (la que tiene ojos celeste, PERO NO SABIA QUE LOS TENIA hasta allí), ve que los otros 99 habitantes de la isla tienen ojos marrones. Por lo tanto, a la mañana siguiente, a las 8, tiene que dejar la isla. Es que al saber que hay al menos uno de los pobladores que tiene ojos celestes y él ve 99 que tienen ojos marrones, él tiene que ser el de los ojos claros. Y allí termina todo.

¿Qué pasaría si hubiera exactamente dos personas que tienen ojos celestes? Llamémoslas A y B. Podría pasar lo siguiente: A piensa que el visitante se estaba refiriendo al color de ojos de B. Y B, pensaría lo mismo: que el señor que habló se refería a A y no a él. Ambos ven que hay 98 que tienen ojos marrones y uno que tiene ojos celestes, pero nada saben sobre el color de ojos propios. Pero a las 8 de la mañana del día siguiente, B advierte que A no se fue de la isla. Entonces, eso significa que A ve que hay OTRA persona en la isla que tiene ojos celestes. Y como B ve que hay 98 que tienen ojos marrones, y sabe que A tiene ojos celestes, entonces, no queda más remedio que él mismo (B) tiene que tener ojos celestes. Por lo tanto, a las 8 de la mañana del 2do día, B se va de la isla.

De la misma forma, este razonamiento que hice para B, es válido para A. Luego, como consecuencia de lo que dijo el visitante, al segundo día de haber hablado enfrente de todos, se van los dos habitantes con ojos celestes.

Moraleja (hasta acá). Si en la isla hubiera exactamente dos habitantes con ojos celestes, los dos se tienen que ir al segundo día de haber escuchado al visitante.

Un paso más: ¿y si hubiera exactamente tres que tienen ojos celestes? (¿no le dan ganas de pensar a usted sola/solo?)

Llamemos A, B y C a los tres que tienen ojos celestes. Tomemos a uno cualquiera de los tres, digamos A e imaginemos lo que tiene que estar pensando. A ve que B y C tienen ojos celestes. También ve que los otros 97 pobladores tienen ojos marrones. O sea, A sabe que hay dos con ojos celestes, 97 con marrones y lo que no sabe es el color de ojos que tiene él. Pero el dato que ahora tiene es el que vimos más arriba: si hay EXACTAMENTE DOS habitantes que tienen ojos celestes en la isla, entonces a las 8 de la mañana del segundo día de haber escuchado al visitante, TIENEN QUE IRSE DE LA ISLA.

Cuando A advierte que ni B ni C se fueron de la isla al pasar el segundo día, eso únicamente pudo haber pasado si hay “más de dos” pobladores que tienen ojos celestes. Y como los 97 restantes tienen ojos marrones, no queda más remedio que descubrir que es él, A, el que tiene los ojos celestes. Luego, a las 8 de la mañana del tercer día, A se va de la isla.

Y como el mismo razonamiento vale para B y para C, la conclusión es que si hay exactamente tres habitantes en la isla que tienen ojos celestes, entonces al tercer día de haber escuchado al visitante, abandonan la isla.

Como usted advierte, este razonamiento se puede seguir haciendo en el caso de que haya cuatro, cinco… hasta 100 habitantes con ojos celestes. El resultado será el mismo. Por ejemplo, si hay exactamente 37 pobladores con ojos celestes, al llegar el día 37 después que habló el visitante, esas 37 personas tendrán que irse de la isla. No antes, pero tampoco después.

Reflexión final

Todo esto que figura más arriba parece un juego. En realidad, lo es, pero no tanto. Hasta que llegó el visitante todo el mundo veía el color de ojos de todo el mundo y eso no cambió. Pero el dato adicional, que esta persona proporcionó, cambió totalmente el escenario de la isla. No sólo ahora todos saben que al menos uno tiene ojos celestes, sino que a medida que van pasando los días, en la medida que nadie abandone la isla, se va conociendo cuántos son los que tienen ojos celestes. Y obviamente, tiene que llegar un momento en el que se tengan que ir todos los que tienen ese color de ojos.

En la vida cotidiana, no alcanza con saber algo. Importa también saber qué es lo que saben los demás, y poder descubrir no sólo cómo usarlo en beneficio propio sino también saber descubrir qué hará el otro con ese conocimiento que tiene. Esto es lo que se llama el “conocimiento común”: no bien el visitante habló y les comunicó a todos que había al menos un habitante que tenía ojos celestes, esa información pasó a ser de público conocimiento y cambió todo el escenario.

Aunque no lo parezca, aprender a razonar de esta forma es “hacer matemática” también. En todo caso, es una lástima que este hecho no sea de “conocimiento común”.

(1) La versión que figura acá es una de las más sencillas que ofrece la literatura. Hay muchísimas fuentes que hablan sobre el “conocimiento común” o compartido. Cualquier libro que profundice un poco en la Teoría de Juegos tiene un capítulo dedicado al Problema de los Ojos Celestes en la Isla.

(2) No hace falta que sean 100 habitantes. Elegí un número cualquiera, pero el razonamiento que se usa para encontrar la solución transforma en irrelevante el número inicial de personas que habitan la isla.

(3) Una variante interesante del problema es imponer como condición que no sólo abandonen la isla aquellos que descubren que tienen ojos celestes, sino también todos aquellos que descubran el color de ojos que tienen, sea éste marrón o celeste.

Por Adrián Paenza

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