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En el prólogo del libro de Adrián Paenza,
Matemática... ¿Estás ahí?, Diego Golombeck escribe:
"Matemática... ¿Estás ahí? Tal vez se esté "poniendo las preguntas", pero
lo que es seguro es que sí, está a la vuelta de la esquina, en nuestra
vida cotidiana y esperando a que la descubramos."
Este artículo de Andrés Fernández, nos muestra otro aspecto de esta
ciencia.
La matemática detrás de los juegos de ingenio y las redes sociales
Desde la ilusoria simplicidad de reproducir un dibujo sin pasar dos veces
por el mismo lugar, hasta el desafío oriental de reubicar un puñado de
números en las celdas del Sudoku, la geometría no sólo se empeña en
expandirse hasta las páginas de entretenimiento, sino que también
encuentra soluciones a problemas reales, de elevada complejidad, con una
dinámica centenaria: trazando líneas y uniendo puntos.
Königsberg fue una ciudad alemana fundada a comienzos del siglo XIII, que
tras la segunda Guerra Mundial pasó a formar parte de la entonces Unión
Soviética y fue rebautizada como Kaliningrado. Pero, al margen de sus
ajetreos históricos, este enclave tuvo un papel protagónico en un problema
matemático clásico: los puentes de Königsberg.
El planteo es simple. Dentro de los límites de la ciudad, el río Pregel se
bifurca y reconecta de modo que genera una isla en el interior de la urbe.
Este sector está comunicado con el resto de la localidad por siete
puentes. El desafío residía en saber si era posible recorrerlos todos una
sola vez, partiendo y terminando en el mismo lugar.
En 1736, el matemático y físico Leonhard Euler demostró la imposibilidad
de transitar un camino con esas condiciones y, de esa manera, dio uno de
los primeros impulsos a lo que en la actualidad se conoce como Teoría de
Grafos, un área de la geometría que estudia las propiedades de los objetos
formados sólo por puntos y segmentos que los unen.
Lo que hizo Euler fue “modelizar” el planteo, es decir, convertir un
problema de la vida cotidiana en matemático. Para ello, sustituyó las
zonas de tierra firme por un conjunto de puntos y trazó todas las
conexiones posibles de los puentes con una serie de líneas. A partir del
análisis de este caso, Euler descubrió que la característica excluyente
para poder efectuar el trayecto es que todos los vértices del gráfico
debían ser pares (es decir, el número de aristas que confluyen en él debía
ser par) o que, a lo sumo, existan dos vértices impares (donde converja
una cantidad impar de aristas).
“Este principio obedece a que si se quieren recorrer todos los puentes en
forma exacta una vez, indefectiblemente los vértices deben ser pares,
porque se ingresa por una arista y se sale por la otra. Esto se aplica a
todos los vértices, excepto en el que se empieza o termina”, explica a
InfoUniversidades Leandro Cagliero, docente e investigador. Desde los
puentes de Königsberg hasta las redes sociales, pasando por los recorridos
del transporte público, las vías férreas, el tendido eléctrico, las rutas
que conectan ciudades y las antenas telefónicas, la Teoría de Grafos
aporta soluciones a complicaciones de la vida real.
“Una situación concreta que puede resolver esta rama de la geometría es
identificar el camino más corto que debe efectuar una noticia en Facebook
para llegar a todos los usuarios de la red”, señala Cagliero, y completa:
“Si todos mandan una noticia a la totalidad de sus contactos, entonces
cada uno recibirá miles de veces la misma información. La idea es conocer,
con buena aproximación, el mínimo número de personas a las que cada
usuario debe remitirle el texto de modo que todos los integrantes de la
comunidad se enteren del tema y accedan al mensaje una única vez”.
Pintando mapas
La Teoría de Grafos está relacionada con una rama de la geometría llamada
“Topología” cuyo objeto de estudio son las propiedades que se mantienen
invariables cuando los objetos geométricos se mueven “como si fueran de
goma”.
En matemática, otro de los problemas topológicos tradicionales fue
enunciado por Francis Guthrie en 1852, pero resuelto recién en 1976 y con
la ayuda de una computadora, por Kenneth Appel y Wolfgang Haken, de la
Universidad de Illinois. En este caso, el reto era saber cuál era el
mínimo número de colores necesarios para pintar las regiones de cualquier
mapa, de manera que cada una tuviera un matiz diferente del que poseían
sus zonas adyacentes (en este caso, las áreas limítrofes deben compartir
una frontera, no basta con que se unan en un punto).
Guthrie, había elaborado una conjetura sobre el tema mientras trabajaba en
la cartografía de Inglaterra y pensaba que cuatro colores eran
suficientes. Su postulado, conocido como el “Teorema de los cuatro
colores”, fue analizado por un sinnúmero de matemáticos de su época. En
1879, Alfred Kempe, un abogado y matemático, anunció que había logrado
demostrar la validez del teorema: su verificación fue publicada en la
revista “Nature” de julio de ese año. Sin embargo, una década más tarde
Percy Heawood encontró un error en esa demostración.
Si bien más tarde se probó con relativa facilidad que cualquier mapa puede
ser coloreado a lo sumo con seis tonalidades, e incluso con cinco, la
demostración de que sólo cuatro son suficientes demoró mucho más. Recién
en 1976, Appel y Haken pudieron hacerlo, pero con la ayuda de una
computadora. De todos modos, todavía algunos matemáticos consideran que la
conjetura no ha sido demostrada en forma rigurosa, ya que no consideran
válido el uso de la computadora para su resolución.
En la vida diaria, un caso cotidiano de coloreo es el Sudoku, un juego de
ingenio japonés que consiste en distribuir números del uno al nueve en las
81 casillas de una cuadrícula. La condición es que en ninguna hilera
-vertical u horizontal- se repita un mismo dígito. Se trata de un
traspolación del coloreo de mapas, donde los números pueden ser
reemplazados por matices.
Andrés Fernández
comunicacion@rectorado.unc.edu.ar
Fuente
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